Van-e legkisebb? Van-e legnagyobb?

Gondolkodásunk alapijait érintő kérdése ezek. Kezdjük a legkisebbel:

Szabó Árpád a „Van-e legkisebb?” című cikkében (Iskolakultúra...) az atom (oszthatatlan) elnevezéssel kapcsolatban írja, hogy osztani eredetileg annyit jelentett, mint megtalálni és kitágítani az ürességet az anyag részei között. Amikor szétvágok valamit, – írja – akkor tulajdonképpen kitágítom azt a „semmit”, ami amúgy is ott van az egyes részek között. Így aztán minden vágás, csak kitágítja az anyagban levő apró üregeket. Azonban, ha ez végtelenségig folytatható lenne, akkor az anyag csak ürességből állna, ami természetesen ellentmondás. Ezért kell legyen „legkisebb” rész, vagyis atom.

Ez mind spekuláció, de a fizikusok az anyag elemi alkotórészeire alkalmazták az atom elnevezést, ám ezt az alkotórészt azóta tovább bontották, így a ma atom-nak nevezett anyagi részek nem oszthatatlanok, még kisebb részekből állnak össze, azt azonban nem tudhatjuk, hogy ennek az osztásnak van-e valahol elvi határa, vagy sosem érhetjük el a legkisebbet.

Ugyancsak az ókorból származó gondolattal folytatja Szabó Árpád a legkisebbről szóló fejtegetését, hogy tudniillik a görög matematikában egy egység oszthatatlan, s mint ilyen, a legkisebb volt. Törtekkel nem foglalkoztak, csupán arányként kezelték őket, mint azt az a Krisztus utáni 5. században élt Proklosztól tudhatjuk. Ugyancsak Proklosz szerint viszont a geometriában nincs legkisebb, az osztás vég nélkül folytatható, s ahol az osztás vég nélkül folytatható, ott jelen van az elgondolhatatlan (alogon) is.

Erre lehetséges magyarázatként a derékszögű háromszög viszonyait hozza fel Szabó Árpád, a Krisztus előtti ötödik és hatodik század fordulóján élt Püthagorasz tétele alapján. Gondolatmenete röviden az alábbi: A 3 és 4 egység befogójú derékszögű háromszög átfogójának hossza 5 egység (ezek négyzetösszege: 9 + 16 = 25).  Ilyen – úgynevezett püthagoraszi – számhármas sok van, például az 5, 12, 13 (25+144 =169) stb. Kérdés azonban, hogy mi a helyzet a négyzetek esetében.

Az egység oldalú négyzet esetében az átló négyzete kisebb az oldalak négyzetösszegénél, a kettőnél. Az átló értéke közelebb van az egyhez, mint a kettőhöz, mert az 1 közelebb van a kettőhöz, mint a 4. Ha a négyzet oldala két egység, ezek négyzetösszege 8, tehát az átló hossza valamivel rövidebb, mint 3, mert annak négyzete már 9 lenne.  A 3 egységnyi oldalú négyzet esetén 18 a négyzetösszeg, az átló négynél nagyobb, mert annak négyzete csak 16 lenne ötnél kisebb, és közelebb van a négyhez.

Anélkül, hogy tovább elemeznénk ezeket az eseteket, beláthatjuk, hogy minél nagyobb a négyzet oldala, annál pontosabban kapjuk meg az átlót négyzetszámként. Ha például 100 egységnyi az oldal, akkor a négyzetösszeg 20 000, ami 19 881+119 és 20 164-164, ezek pedig 141 és 142 négyzetgyökei, vagyis a 100 oldalhosszúságú négyzet átlójának hossza közelebb van a 141-hez, mint a 142-höz. Ugyanakkor viszont tudjuk, hogy bármeddig is folytatjuk a számolgatást, egész szám oldalhosszúságú négyzet esetén sosem kapjuk meg az átlót egész számként.

Ennél azonban egyszerűbben is igazolhatjuk a geometriában a legkisebb hiányát, egyszerűen egy szakasz újra és újra történő felezésével. Akárhányszor is felezzük az újabb és újabb félszakaszokat, mindig véges hosszúságú szakaszhoz jutunk. Vagyis nincs legkisebb szakasz.

Hasonló módon bármeddig kereshetjük a legnagyobb számot, vagy szakaszt sosem fogjuk elérni. Minden számhoz hozzáadhatunk egyet. És minden szakaszt meghosszabbíthatunk egy egységnyivel. Ez felveti a végtelen kérdését. A szakaszok darabolása az intenzív végtelenhez, az összeadás az extenzív végtelenhez vezet.